Ricci Curvature modulo Homotopy

This article is a report summarizing recent progress in the geometry of negative Ricci and scalar curvature. It describes the range of general existence results of such metrics on manifolds of dimension ≥ 3. Moreover it explains flexibility and approximation theorems for these curvature conditions leading to unexpected effects. For instance, we find that “modulo homotopy” (in a specified sense) these curvatures do not have any of the typical geometric impacts. Résumé. Cet article est un résumé des progrès récents dans la géométrie des variétés riemanniennes à courbure de Ricci ou scalaire négative. Il décrit le domaine de validité des résultats généraux d’existence pour de telles métriques sur les variétés de dimension ≥ 3. De plus, il explique les théorèmes de flexibilité et d’approximation pour ces conditions de courbure, ce qui conduit à des résultats inattendus. Par exemple, nous montrons que “modulo homotopie” (dans un sens précis), ces conditions de courbure n’impliquent aucune des conditions géométriques usuelles. M.S.C. Subject Classification Index (1991) : 11F72, 11R39, 22E55. c © Séminaires & Congrès 1, SMF 1996